Essentiellement, une fonction est une règle de correspondance qui attribue à chaque élément d'un ensemble d'entrées (le domaine) exactement un élément dans un ensemble de sorties (le ensemble image). Cette relation déterministe constitue le bloc de construction fondamental de la modélisation mathématique, nous permettant de décrire comment le comportement d'une variable est strictement dicté par une autre.
Considérons un modèle de concentration en sel: si nous pompons de l'eau salée dans un réservoir d'eau pure, la concentration $C(t)$ est une fonction du temps $t$. Pour tout instant choisi, il n'existe qu'un seul niveau de concentration possible. Cette règle « une entrée, une sortie » est au cœur du calcul différentiel et intégral.
La définition d'une fonction
Une fonction $f$ est une règle qui attribue à chaque élément $x$ d'un ensemble $D$ exactement un élément, appelé $f(x)$, d'un ensemble $E$. Nous la représentons algébriquement à travers des formules telles que :
- $y = mx + b$ (linéaire)
- $f(x) = \sqrt{x}$ (racine)
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ (définition ensembliste)
Une fonction n'est pas seulement une formule ; elle peut être définie par un tableau de valeurs (une fonction tabulaire) ou même simplement un ensemble de paires ordonnées.
Le test de la droite verticale (TDV) : Une courbe dans le plan $xy$ représente une fonction de $x$ si et seulement si aucune droite verticale ne coupe la courbe plus d'une fois. Cela garantit que la condition « une seule sortie » est satisfaite.
Évaluation pratique : le quotient différentiel
Pour mesurer les variations de ces relations, nous évaluons souvent l'expression $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Soit $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Pour évaluer le quotient différentiel :
- Remplaçons $(a+h)$ dans $f$ : $f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- Développons : $2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- Soustrayons $f(a)$ : $(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- Divisons par $h$ : $\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$.